Nama: INDAHTAURIZYA
Npm: 17 630 011
UJI BEDA RATA-RATA
• PENGUJIAN m UNTUK RAGAM TIDAK DIKETAHUI
Statistik Uji: t
t =
Contoh:
Sebuah perusahaan alat olahraga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, ingin menguji apakah alat pancing tersebut memiliki kekuatan dengan nilai tengah 8 kg. Diketahui bahwa simpangan baku adalah 0,5 kg. Ujilah hipotesis tersebut, bila suatu contoh acak 50 batang pancing itu setelah di tes memberikan nilai tengah 7,8 kg. Gunakan taraf nyata 0,01.
Jawab:
1. Hipotesis
H0 : m = 8, lawan H1 : m ¹ 8 (uji dua sisi)
2. Tingkat signifikansi a = 0,01
Za/2 = Z0,005 = 2,575
3. Statistik Uji
Z = = = -2,83
4. Daerah kritik
H0 diterima : -Za/2 < Z < Za/2 à -2,575 < Z < 2,575
H0 ditolak : Z > Za/2 atau Z < -Za/2 à Z > 2,575 atau Z <-2,575
5. Keputusan
Karena Z < – Za/2 (-2,83 < -2,575), maka H0ditolak
6. Kesimpulan
Bahwa rata-rata kekuatan batang pancing tidak sama dengan 8 kg, tetapi kurang dari 8 kg.
• PENGUJIAN DUA m UNTUK RAGAM POPULASI DIKETAHUI
Statistik Uji yang digunakan: Z =
Contoh:
Dari suatu survei di dua daerah yang masing-masing dengan contoh berukuran 30 dan 36 berturut-turut diperoleh nilai tengah pendapatan per kapita per bulan Rp 45.000 di daerah A dan Rp 47.500 untuk daerah B. Jika diketahui bahwa ragam pendapatannya sebesar (Rp.6.000)2 dan (Rp.7.500)2 berturut-turut, dengan taraf kepercayaan 95%, tentukan apakah pendapatan rata-rata di A berbeda dengan di B atau tidak!
Jawab:
1. Hipotesis
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB (uji dua sisi)
2. Tingkat signifikansi a = 0,05
Za/2 = Z0,025 = 1,96
3. Statistik Uji
Z = = = -1,504
4. Daerah kritik
H0 diterima : -Za/2 < Z < Za/2 à -1,96 < Z < 1,96
H0 ditolak : Z > Za/2 atau Z < -Za/2 à Z > 1,96 atau Z <-1,96
5. Keputusan
Karena -Za/2 < Z < Za/2 (-1,96 < Z < 1,96), maka H0 diterima
6. Kesimpulan
Bahwa pendapatan perkapita dua daerah tersebut adalah sama.
• UJI t TIDAK BERPASANGAN
-Contoh:
Kemampuan mahasiswa dari jalur PSB dan SPMB akan diperbandingkan dalam hal kemampuan mereka terhadap mata kuliah statistika. Pada masing-masing kelompok diambil secara acak 14 mahasiswa dari PSB (dinamakan kelompok A) dan 18 mahasiswa dari SPMB (dinamakan kelompok B).
Dari data yang diperoleh, setelah dilakukan perhitungan, ternyata bahwa = 68,5; = 66,0; s2A= 110,65 dan s2B = 188,59. Dengan tingkat kesalahan 5%, ingin ditentukan apakah kemampuan kedua kelompok tersebut sama atau tidak.
Jawab:
Hipotesis yang akan di uji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Untuk menentukan apakah ragam kedua populasi itu sama atau tidak dilakukan uji F
F = = = 1,70
Dengan F0,05 dengan db1=18-1 = 17 dan db2=14-1=13 sebesar 2,357. Karena F < F0,05maka ragam kedua populasi adalah sama. Maka ragam gabungannya:
s2 = = = 154,82
Statistik uji t yang digunakan:
t = = = 0,56
Dengan t0,025 dan db = nA + nB – 2 = 14 + 18 – 2 = 30 adalah sebesar 2,045.
Karena t terletak di antara –t0,025 < t < t0,025maka H0 diterima, artinya tidak terdapat perbedaan kemampuan statistika antara mahasiswa asal PSB dengan SPMB.
-Contoh:
Suatu penelitian terhadap suatu populasi mengambil 2 contoh masing-masing berukuran 15 dan 10. Berdasarkan hasil pengukuran diperoleh = 2, = 1, s2A = 10 dan s2B= 35. Tentukan apakah kedua contoh di atas berasal dari populasi dengan nilai tengah sama atau tidak!
Jawab :
Hipotesis yang akan di uji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Untuk menentukan apakah ragam kedua populasi itu sama atau tidak dilakukan uji F
F = = = 3,5
Dengan F0,05 dengan db1=10-1 = 9 dan db2=15-1=14 sebesar 2,65. Karena F > F0,05 maka ragam kedua populasi adalah tidak sama.
Statistik uji t yang digunakan:
t = = = 0,46
db = = 10,73 » 11
Dengan t0,025(11) = 2,201
Karena t terletak di antara –t0,025 < t < t0,025maka H0 diterima, artinya nilai tengah kedua populasi sama.
• UJI t BERPASANGAN
-Contoh:
Suatu penelitian ditujukan untuk mempelajari apakah ada perbedaan antara banyaknya biji per bunga dari bunga bagian atas dan bagian bawah 10 tanaman bakau.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Atas 1,4 3,3 2,0 0,4 2,1 1,9 1,1 0,1 0,9 3,0
Bawah 1,1 1,7 1,8 0,3 0,8 1,4 1,0 0,4 0,7 0,9
(Dalam bentuk tabel)
Pengamatan di atas jelas pengamatan berpasangan, dan kita memandang baik bagian atas (XA) maupun bagian bawah (XB) pada setiap pasangan tidak bebas sesamanya. Yang harus dicari adalah selisih antara bagian atas dan bawah:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Atas 1,4 3,3 2,0 0,4 2,1 1,9 1,1 0,1 0,9 3,0
Bawah 1,1 1,7 1,8 0,3 0,8 1,4 1,0 0,4 0,7 0,9
D 0,3 1,6 0,2 0,1 1,3 0,5 0,1 -0,3 0,2 2,1
(Dalam bentuk tabel)
Hipotesis yang akan diuji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Atau H0 : mD = 0 versus H1 : mD ¹ 0
Di mana kita peroleh = 0,61 dan s2 = 0,6077
t = = = 2,474
Dengan db = n – 1 = 10 – 1 = 9, diperoleh t0,025 = 2,262. Karena
t > t0,025 maka H0 ditolak, artinya terdapat perbedaan antara banyak biji yang dihasilkan oleh bunga bagian atas tanaman dan bunga bagian bawah tanaman. Karena > 0, di mana D adalah selisih bagian atas dengan bagian bawah, maka bagian atas memiliki jumlah biji yang lebih banyak.
Jumat, 28 Desember 2018
Contoh Soal Pengambilan Sampel Mid Statistik
Misalkan penelitian yang dilakukan adalah pengaruh kurikulum saat ini terhadap prestasi siswa, maka dapat dilakukan dengan cara mengelompokan siswa kedalam tingkatan pandai, sedang, tidak pandai dan kemudian dari masing-masing tingkatan tersebut diambil dalam jumlah yang memadai.
Penyelesaian :
| Nilai | Jumlah Siswa | Hasil Stratifikasi |
| 0 – 30 | 7 | Tidak Pandai |
| 31 – 60 | 15 | Sedang |
| 61 – 80 | 23 | Lumayan |
| 80 – 100 | 5 | Pandai |
| 50 |
Analisi Regresi Sederhana
NAMA: INDAH TAURIZYA
NO. STAMBUK: 17 630 011
Secara matematis model analisis regresi linier sederhana dapat digambarkan sebagai berikut:
Y = A + BX + e
Y adalah variabel dependen atau respon
A adalah intercept atau konstanta
B adalah koefisien regresi atau slope
e adalah residual atau error
Secara praktis analisis regresi linier sederhana memiliki kegunaan sebagai berikut:
1. Model regresi sederhana dapat digunakan untuk forecast atau memprediksi nilai Y. Namun sebelum melakukan forecasting, terlebih dahulu harus dibuat model atau persamaan regresi linier. Ketika model yang fit sudah terbentuk maka model tersebut memiliki kemampuan untuk memprediksi nilai Y berdasarkan variabel Y yang diketahui. Katakanlah sebuah model regresi digunakan untuk membuat persamaan antara pendapatan (X) dan konsumsi (Y). Ketika sudah diperoleh model yang fit antara pendapatan dengan konsumsi, maka kita dapat memprediksi berapa tingkat konsumsi masyarakat ketika kita sudah mengetahui pendapatan masyarakat.
2. Mengukur pengaruh variabel X terhadap variabel Y. Misalkan kita memiliki satu serial data variabel Y, melalui analisis regresi linier sederhana kita dapat membuat model variabel-variabel yang memiliki pengaruh terhadap variabel Y. Hubungan antara variabel dalam analisis regresi bersifat kausalitas atau sebab akibat. Berbeda halnya dengan analisis korelasi yang hanya melihat hubungan asosiatif tanpa mengetahui apa variabel yang menjadi sebab dan apa variabel yang menjadi akibat.
Model regresi linier sederhana yang baik harus memenuhi asumsi-asumsi berikut:
1. Eksogenitas yang lemah, kita harus memahami secara mendasar sebelum menggunakan analisis regresi bahwa analisis ini mensyaratkan bahwa variabel X bersifat fixed atau tetap, sementara variabel Y bersifat random. Maksudnya adalah satu nilai variabel X akan memprediksi variabel Y sehingga ada kemungkinan beberapa variabel Y. dengan demikian harus ada nilai error atau kesalahan pada variabel Y. Sebagai contoh ketika pendapatan (X) seseorang sebesar Rp 1 juta rupiah, maka pengeluarannya bisa saja, Rp 500 ribu, Rp 600 ribu, Rp 700 ribu dan seterusnya.
2. Linieritas, seperti sudah dijelaskan sebelumnya bahwa model analisis regresi bersifat linier. artinya kenaikan variabel X harus diikuti secara proporsional oleh kenaikan variabel Y. Jika dalam pengujian linieritas tidak terpenuhi, maka kita dapat melakukan transformasi data atau menggunakan model kuadratik, eksponensial atau model lainnya yang sesuai dengan pola hubungan non-linier.
3. Varians error yang konstan, ini menjelaskan bahwa varians error atau varians residual yang tidak berubah-ubah pada respon yang berbeda. asumsi ini lebih dikenal dengan asumsi homoskedastisitas. Mengapa varians error perlu konstan? karena jika konstan maka variabel error dapat membentuk model sendiri dan mengganggu model. Oleh karena itu, penanggulangan permasalahan heteroskedastisitas/non-homoskedastisitas dapat diatasi dengan menambahkan model varians error ke dalam model atau model ARCH/GARCH.
4. Autokorelasi untuk data time series, jika kita menggunakan analisis regresi sederhana untuk data time series atau data yang disusun berdasarkan urutan waktu, maka ada satu asumsi yang harus dipenuhi yaitu asumsi autokorelasi. Asumsi ini melihat pengaruh variabel lag waktu sebelumnya terhadap variabel Y. Jika ada gangguan autokorelasi artinya ada pengaruh variabel lag waktu sebelumnya terhadap variabel Y. sebagai contoh, model kenaikan harga BBM terhadap inflasi, jika ditemukan atukorelasi artinya terdapat pengaruh lag waktu terhadap inflasi. Artinya inflasi hari ini atau bulan ini bukan dipengaruhi oleh kenaikan BBM hari ini namun dipengaruhi oleh kenaikan BBM sebelumnya (satu hari atau satu bulan tergantung data yang dikumpulkan)
Jumat, 21 Desember 2018
Uji Anova ( uji F )
NAMA : INDAHTAURIZYA
NPM : 17 630 011
UJI ANOVA ( UJI F )
Pengertian ANOVA
ANOVA digunakan untuk
menganalisis perbedaan rata–rata variabel tergantung(dependent variabel ) berdasarkan
lebih dari dua kelompok (atau kategori) yang terdapat padavariabel bebas
(ndependant variabel ).
Klasifikasi ANOVA
Setiap jenis
pengujian ANOVA memiliki metode dan ciri tersendiri. Dalam menganalisadengan
menggunakan metode ANOVA terlebih dahulu kita harus mengklasifikasikannya. Anovadibedakan menjadi dua, yaitu One Way
ANOVA dan Two Way ANOVA.
1.
One Way ANOVA
Analisis Variansi searah merupakan alat uji statistik yang
digunakan untuk menguji apakahk populasi yang independen mempunyai rata–rata
yang berbeda atau tidak. Dalam analisisvariansi searah teradapat 1 variabel tak
bebas (variabel dependen) dan 1 variabel bebas atau(independen). Dalam
pengujian One Way ANOVA sampel dibagi menjadi beberapa kategori danreplikas.
Kolom bertindak sebagai kategori dan baris sebagai replikasi.
Contohnya sepertiperbededaan rata-rata diantara 10 tanaman
yang dipupuk dan diamati dalam beberapa minggu.Dalam pengujian One Way ANOVA sampel
dibagi menjadi beberapa kategori dan replikasi.Kolom bertindak sebagai kategori
dan baris sebagai replikasi.
2.
Two Way ANOVA
Pengujian hipotesis dua arah merupakan pengujian hipotesis
beda tiga rata-rata atau lebihdengan dua faktor yang berpengaruh. Two Way ANOVA
diklasifikasikan ke dalam dua jenisberdasarkan ada/tidak adanya interaksi antar
variabel faktor.
Contoh Anova dua arah tanpainteraksi misalnya adalah
pengaruh 3 mesin produksi dan operator yang berbeda terhadaphasil produksi
perusahaan tanpa memandang pengaruh operator yang bekerja. Contoh di atasjika
dimasukkan dalam Anova dua arah dengan interaksi berarti, juga memandang
pengaruhoperator yang bekerja pada setiap mesin.
Two Way ANOVA diklasifikasikan ke
dalam dua jenis berdasarkan ada/tidak adanyainteraksi antar variabel factor
1.
ANOVA dua arah tanpa interaksiDalam kategori,
terdapat blok atau sub-kelompok Kolom : kategori 1Baris : blok, kategori 2 Setiap sel berisi satu data.2.
2.
ANOVA dua arah dengan interaksiDalam kategori,
terdapat blok atau sub-kelompok Kolom : kategori 1Baris : blok, kategori
2Setiap blok diulang, satu sel berisi beberapa data
Pengujian One Way ANOVA
Langkah-langkah pengujian klasifikasi satu
arah (one way ANOVA) adalah sebagai berikut:
1.
Menentukan formulasi hipotesisH0: µ1 = µ2 = µ3 =
µ4
H1: sekurang-kurangnya ada satu perbedaan antara rata-rata satu dengan
yang lainnya
2.
Menentukan taraf nyata (α) dan nilai F table
Taraf nyata (α) ditentukan dengan derajat pembilang (v1) dan derajat
penyebut (v2), dimana V 1= k-1 dan V2= k(n-1)dan, sehingga F@:(V1-V2) =....
3.
Menentukan kriteria pengujian
H0 diterima apabila F0≤ F@:(V1-V2) H0 ditolak apabila F0˃ F@:(V1-V2)
4.
Membuat penyajian data sampel dalam bentuk tabel.
5.
Membuat analisis variansnya dalam bentuk tabel
ANOVA
6.
Membuat kesimpulan dengan membandingkan antara
langkah ke-5 dengan kriteriapengujian pada langkah ke-3.
·
Two Way ANOVA Tanpa Interaksi
Langkah-langkah pengolahan data Two Way ANOVA dengan interaksi :
1.
Menentukan formulasi hipotesisa
a.
H0: @1:@2:@3=…= 0 (pengaruh baris nol)
H1 : sekurang- kurangnya satu @i tidak sama dengan nol
b.
H0: B1:B2:B3=…= 0 (pengaruh baris nol)
H1 : sekurang- kurangnya satu Bi tidak sama dengan nol
2.
Menentukan taraf nyata @ beserta F tabel
a.
Untuk baris: ( v1) = b – 1 => (v2) = (k-1)(b-1)
b.
b. Untuk kolom: ( v1) = b – 1 => (v2) = (k-1)(b-1)Fα(V1-V2)=…
3.
Menentukan kriteria Pengujian
H0 diterima jika f0 ≤ Fα (v1-v2)
H0 ditolak jika f0 ≤ Fα (v1-v2)
4.
Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
5.
Membuat Kesimpulan
·
Two Way ANOVA Dengan Interaksi
Langkah-langkah pengolahan data Two
Way ANOVA
dengan interaksi :
1.
Menentukan formulasi hipotesis
a.
H0: @1:@2:@3=…=@b= 0 (pengaruh baris nol)
H1 : sekurang- kurangnya satu @i tidak sama dengan nol
b.
H0: B1:B2:B3=…= Bb=0 (pengaruh baris nol)
H1 : sekurang- kurangnya satu Bi tidak sama dengan nol
c.
H0: (@B)11:(@B)12:(@B)13=…=(@B)bk= 0 (pengaruh
baris nol)
H1 : sekurang- kurangnya satu Bij tidak sama dengan nol
2.
Menentukan taraf nyata @ beserta F tabel
a.
Untuk baris: ( v1) = b – 1 => (v2) = (kb)(n-1)
b.
Untuk kolom: ( v1) = b – 1 => (v2) = (kb)(n-1)
c.
Untuk interaksi : (v1) = (k-1 ))(b-1) => (v2)
=(kb)(n-1)Fα(V1-V2)=…
3.
Menentukan kriteria Pengujian
Untuk baris, kolom, dan interaksi
H0 diterima jika f0 ≤ Fα (v1-v2)
H0 ditolak jika f0 ≤ Fα (v1-v2)
4.
Membuat analisis varians dalam bentuk tabel
ANOVA
5.
Membuat Kesimpulan
Jumat, 14 Desember 2018
UJI CHI KUADRAT
Nama: INDAHTAURIZYA
Npm: 17 630 011
UJI CHI KUADRAT
PENGERTIAN CHI KUADRAT
Uji Chi Kuadrat (X2) dapat dikatakan sebagai uji proporsi untuk dua peristiwa atau lebih dan data berjenis nominal, sehingga datanya bersifat dikrit. Dalam uji Chi- Kuadrat dihadapkan pada suatu pengujian apakah perbedaan antara frekuensi hasil observasi (disimbolkan fo) dengan frekuensi yang diharapkan pleh peneliti (disimbolkan fe/fh) dari sampel yang terbatas merupakan perbedaan yang signifikan atau tidak.
Rumus :
X2 = ∑〖(fe-fo)〗^2/fe
Dimana :
fo = frekuensi observasi
fe = frekuensi yang diharapkan (teoritis)
X2 = Chi-Kuadrat
Catatan :
Bila frekuensi harapn (fe) tidak diketahui maka dapat dicari dengan rumus fe = (∑fo)/n
KEGUNAAN CHI-KUADRAT
1. Chi – Kuadrat Untuk Menguji Proporsi
2. Uji Independensi
3. Uji kecocokan/kesesuaian
4. Chi-Kuadrat Untuk Pengujian Hipotesis
5. Chi-Kuadrat Untuk Uji Normalitas
KELEBIHAN DAN KELEMAHAN CHI-KUADRAT
Beberapa kelebihan dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain :
1. Konsep chi-kuadrat dalam statistik nonparametrik mudah untuk dimengerti.
2. Dapat digunakan untuk menganalisa data yang berbentuk hitungan maupun peringkat (rank).
3. Perhitungan yang harus dilakukan pada umumnya sederhana dan mudah, khususnya untuk data yang kecil.
Beberapa kelemahan dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain :
1. uji ini sensitif terhadap banyaknya sampel yang digunakan. Uji ini akan menjadi kurang akurat jika terdapat nilai frekuensi harapan yang kurang dari 5 pada sel tabel kontingensi. Bahkan uji ini tidak bisa digunakan jika frekuensi harapan yang kurang dari 5 terdapat lebih dari 20 % dari total sel yang ada atau bila terdapat nila frekuensi harapan yang kurang dari 1.
2. Uji Chi-Square hanya memberikan informasi tentang ada atau tidaknya hubungan antara kedua variabel. Uji ini tidak memberikan informasi mengenai seberapa besar hubungan yang ada antara kedua variabel tersebut serta bagaimana arah hubungan yang ada.
3. Uji Chi-Square hanya bagus digunakan untuk skala data nominal untuk kedua variabel yang diuji. Uji ini lemah digunakan jika kedua variabel tersebut berskala ordinal.
Npm: 17 630 011
UJI CHI KUADRAT
PENGERTIAN CHI KUADRAT
Uji Chi Kuadrat (X2) dapat dikatakan sebagai uji proporsi untuk dua peristiwa atau lebih dan data berjenis nominal, sehingga datanya bersifat dikrit. Dalam uji Chi- Kuadrat dihadapkan pada suatu pengujian apakah perbedaan antara frekuensi hasil observasi (disimbolkan fo) dengan frekuensi yang diharapkan pleh peneliti (disimbolkan fe/fh) dari sampel yang terbatas merupakan perbedaan yang signifikan atau tidak.
Rumus :
X2 = ∑〖(fe-fo)〗^2/fe
Dimana :
fo = frekuensi observasi
fe = frekuensi yang diharapkan (teoritis)
X2 = Chi-Kuadrat
Catatan :
Bila frekuensi harapn (fe) tidak diketahui maka dapat dicari dengan rumus fe = (∑fo)/n
KEGUNAAN CHI-KUADRAT
1. Chi – Kuadrat Untuk Menguji Proporsi
2. Uji Independensi
3. Uji kecocokan/kesesuaian
4. Chi-Kuadrat Untuk Pengujian Hipotesis
5. Chi-Kuadrat Untuk Uji Normalitas
KELEBIHAN DAN KELEMAHAN CHI-KUADRAT
Beberapa kelebihan dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain :
1. Konsep chi-kuadrat dalam statistik nonparametrik mudah untuk dimengerti.
2. Dapat digunakan untuk menganalisa data yang berbentuk hitungan maupun peringkat (rank).
3. Perhitungan yang harus dilakukan pada umumnya sederhana dan mudah, khususnya untuk data yang kecil.
Beberapa kelemahan dari distribusi chi-kuadrat, yaitu antara lain :
1. uji ini sensitif terhadap banyaknya sampel yang digunakan. Uji ini akan menjadi kurang akurat jika terdapat nilai frekuensi harapan yang kurang dari 5 pada sel tabel kontingensi. Bahkan uji ini tidak bisa digunakan jika frekuensi harapan yang kurang dari 5 terdapat lebih dari 20 % dari total sel yang ada atau bila terdapat nila frekuensi harapan yang kurang dari 1.
2. Uji Chi-Square hanya memberikan informasi tentang ada atau tidaknya hubungan antara kedua variabel. Uji ini tidak memberikan informasi mengenai seberapa besar hubungan yang ada antara kedua variabel tersebut serta bagaimana arah hubungan yang ada.
3. Uji Chi-Square hanya bagus digunakan untuk skala data nominal untuk kedua variabel yang diuji. Uji ini lemah digunakan jika kedua variabel tersebut berskala ordinal.
Jumat, 07 Desember 2018
Uji beda rata-rata
Nama: INDAHTAURIZYA
Npm: 17 630 011
UJI BEDA RATA-RATA
• Populasi dan sampel
Populasi adalah totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung ataupun pengukuran kuantitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat – sifatnya.
Karena kompleks dan luasnya populasi, mengingat terbatasnya tenaga, biaya, waktu dan hal-hal bersifat merusak maka untuk menggambarkan suatu populasi dilakukan melalui sampel.
Adapun sampel adalah sebagian dari populasi. Sampel yang bagus adalah sampel yang representative, yaitu segala karakteristik populasi tercermin pula dalam sampel.
• Parameter dan Statistik
Karakteristik yang dihitung dari data yang berasal dari populasi disebut parameter, misalkan rata-rata populasi adalah sebuah parameter yang bisanya diberi simbol µ, sedangkan karakteristik yang dihitung dari data yang berasal dari sampel disebut statistic, misalnya rata-rata sampel adalah sebuah statistic yang biasnya diberi symbol . Parameter biasanya tidak diketahui, sehingga nilainya ditaksir dengan nilai statistic.
• Hipotesis
Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. (dalam penelitian hipotesis dapat diartikan jawaban sementara terhadap rumusan masalah penelitian). Jika asumsi itu atau dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik. kecuali dinyatakan lain, di sini dengan hipotesis dimaksudkan hipotesis statistik.
Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis
• DUA MACAM KEKELIRUAN
Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama:
• Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,
• Kekeliruan tipe II : ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.
Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan a (baca : alfa) dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan b (baca : beta). Untuk keperluan praktis, kecuali dinyatakan lain, a akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa digunakan, yaitu a = 0,01 atau a = 0,05. Dengan a = 0,05 misalnya, atau sering pula disebut taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05.
• LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS
Adapun langkah-langkah pengujian hipotetsis dapat diringkas sebagai berikut:
1. Nyatakan hipotetsis nolnya H0 bahwa q = qo ,
2. Pilih hipotetsis alternative H1 yang sesuai q ¹ qo, q > q0 ,q < qo
3. Tentukan taraf signifikan a.
4. Pilih statistic uji yang digunakan apakah z, t, c2 , F atau lainnya, kemudian tentukan daerah ktitisnya/daerah penolakan hipotesis (dari table statistic yang digunakan).
5. Hitung nilai statistic uji berdasarkan sample (melakukan perhitungan data).
6. Keputusan: tolak H0 jika nilai statistic uii tersebut jatuh dalam daerah kritis, sedangkan jika nilai itu jatuh diluar daerah kritis H0
• Terdapat 2 tipe hipotesis:
1. Hipotesis satu arah (atau hipotesis satu sisi).
Jika hipotesis alternatif menunjukkan tanda > atau <. Hal ini dikarenakan si peneliti atau si perancang hipotesis, menginginkan suatu perubahan satu arah, misalnya apakah meningkat, apakah terjadi penurunan, dan sebagainya.
Contoh: sebuah perusahaan rokok menyatakan bahwa kadar nikotin rata-rata rokok yang diproduksinya tidak melebihi 2,5 miligram (tidak melebihi berarti kurang dari, berarti satu arah saja, H1 : m < 2,5).
2. Hipotesis dua arah (atau hipotesis dua sisi).
Jika hipotesis alternatif menunjukkan tanda ¹ Misalkan H0 : m = 20, lawan H1 : m ¹ 20 Ini berarti hipotesis alternatifnya memiliki dua definisi,
H1 : m > 20 dan/atau H1 : m < 20. Hal ini dikarenakan si peneliti menginginkan suatu perbedaan, yaitu apakah berbeda atau tidak (entah berbeda itu meningkat, atau menurun)
Contoh: sebuah pabrik sereal ingin mengetes unjuk kerja dari mesin pengisinya. Mesin tersebut dirancang untuk mengisi 12 ons setiap boksnya. (karena hanya ingin menguji apakah rata-rata mesin pengisi tersebut dapat mengisi 12 ons setiap boksnya atau tidak, H0 : m = 12, dan H1 : m ¹ 12)
Untuk penentuan daerah kritis (daerah penolakan hipotesis).
Jika H1 mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi yang digunakan, normal untuk angka z, Student untuk t, dan seterusnya, didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah ½a. Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis dinamakan uji dua pihak
Daerah penolakan Ho
(daerah kritis)
Daerah
Penerimaan Ho
Daerah Penolakan Ho
(daerah kritis)
d1
d2
luas = ½a
luas = ½a
PENGUJIAN HIPOTESIS SATU POPULASI
• PENGUJIAN m UNTUK RAGAM DIKETAHUI
Statistik Uji: Z
Z
1. Untuk hipotesis dua sisi:
H0: m = c lawan H1: m ¹ c
Daerah Penerimaan H0
-Za/2 < Z < Za/2
Daerah Penolakan H0
Z > Za/2 atau Z < -Za/2
2. Untuk hipotesis satu sisi:
H0: m = c lawan H1: m < c
Daerah Penerimaan H0
Z > -Za
Daerah Penolakan H0
Z < -Za
H0: m = c lawan H1: m > c
Daerah Penerimaan H0
Z < Za
Daerah Penolakan H0
Z > Za
• PENGUJIAN m UNTUK RAGAM TIDAK DIKETAHUI
Statistik Uji: t
t =
Dibandingkan dengan ta/2 (dua sisi) & ta (satu sisi) dengan db=n-1
Metode daerah penerimaan maupun penolakan H0 sama dengan di atas.
Contoh:
Sebuah perusahaan alat olahraga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, ingin menguji apakah alat pancing tersebut memiliki kekuatan dengan nilai tengah 8 kg. Diketahui bahwa simpangan baku adalah 0,5 kg. Ujilah hipotesis tersebut, bila suatu contoh acak 50 batang pancing itu setelah di tes memberikan nilai tengah 7,8 kg. Gunakan taraf nyata 0,01.
Jawab:
1. Hipotesis
H0 : m = 8, lawan H1 : m ¹ 8 (uji dua sisi)
2. Tingkat signifikansi a = 0,01
Za/2 = Z0,005 = 2,575
3. Statistik Uji
Z = = = -2,83
4. Daerah kritik
H0 diterima : -Za/2 < Z < Za/2 à -2,575 < Z < 2,575
H0 ditolak : Z > Za/2 atau Z < -Za/2 à Z > 2,575 atau Z <-2,575
5. Keputusan
Karena Z < – Za/2 (-2,83 < -2,575), maka H0ditolak
6. Kesimpulan
Bahwa rata-rata kekuatan batang pancing tidak sama dengan 8 kg, tetapi kurang dari 8 kg.
• PENGUJIAN HIPOTESIS DUA POPULASI
Misalkan kita tertarik untuk membandingkan efisiensi 2 mesin, mesin A dan mesin B, mana yang lebih baik, atau kita tertarik untuk membandingkan potensi tanaman pada varietas A dan varietas B, apakah terdapat perbedaan hasil panen varietas A dan B, maka hipotesis yang akan di uji adalah:
H0 : mA = mB (tidak terdapat perbedaan pada kedua varietas tersebut)
H1 : mA ¹ mB (terdapat perbedaan pada kedua varietas tersebut)
Atau kita ingin menguji apakah varietas A lebih baik daripada varietas B? maka hipotesisnya:
H0 : mA = mB versus H1 : mA < mB
• PENGUJIAN DUA m UNTUK RAGAM POPULASI DIKETAHUI
Statistik Uji yang digunakan: Z =
Decision rule (kaidah keputusannya) sama dengan sebelumnya
Contoh:
Dari suatu survei di dua daerah yang masing-masing dengan contoh berukuran 30 dan 36 berturut-turut diperoleh nilai tengah pendapatan per kapita per bulan Rp 45.000 di daerah A dan Rp 47.500 untuk daerah B. Jika diketahui bahwa ragam pendapatannya sebesar (Rp.6.000)2 dan (Rp.7.500)2 berturut-turut, dengan taraf kepercayaan 95%, tentukan apakah pendapatan rata-rata di A berbeda dengan di B atau tidak!
Jawab:
1. Hipotesis
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB (uji dua sisi)
2. Tingkat signifikansi a = 0,05
Za/2 = Z0,025 = 1,96
3. Statistik Uji
Z = = = -1,504
4. Daerah kritik
H0 diterima : -Za/2 < Z < Za/2 à -1,96 < Z < 1,96
H0 ditolak : Z > Za/2 atau Z < -Za/2 à Z > 1,96 atau Z <-1,96
5. Keputusan
Karena -Za/2 < Z < Za/2 (-1,96 < Z < 1,96), maka H0 diterima
6. Kesimpulan
Bahwa pendapatan perkapita dua daerah tersebut adalah sama.
• PENGUJIAN DUA m UNTUK RAGAM POPULASI TDK DIKETAHUI
Sama seperti uji satu populasi, jika ragam tidak diketahui, statistik uji yang digunakan adalah statistik t. Bila ragam populasi untuk kedua populasi tersebut tidak diketahui, kita harus menyelidiki contoh A (dari populasi A) dan contoh B (dari populasi B) apakah populasi tersebut berpasangan atau tidak.
Jika contoh A, yang diambil bebas terhadap contoh B. Artinya, kita mengambil secara acak contoh A berukuran nA dan kita juga mengambil contoh B secara acak berukuran nB. Jenis pengujian ini dinamakan uji t tidak berpasangan.
Jika pada setiap pengukuran contoh A dan B diambil secara berpasangan. Dengan demikian, ukuran untuk contoh A dan B adalah sama, yaitu katakanlah n. Jenis pengujian ini dinamakan uji t berpasangan.
• UJI t TIDAK BERPASANGAN
Terdapat permasalahan dalam uji t tidak berpasangan, yaitu apakah dua populasi tersebut berasal dari ragam yang sama atau tidak? Untuk itu kita harus mengujinya apakah s2A sama dengan s2B atau tidak. Hipotesis untuk menguji hal itu adalah sebagai berikut:
H0 : s2A = s2B (artinya kedua populasi berasal dari ragam yang sama)
H1 : s2A ¹ s2B (artinya kedua populasi berasal dari ragam yang sama)
Statistik uji yang digunakan adalah statistik F.
F =
di mana s21 adalah ragam terbesar dari dua populasi tersebut (apakah s2A atau s2B) dan s22adalah ragam terkecil di antara keduanya.
F tersebut dibandingkan dengan Fa dengan db1 = n1 – 1 dan db2 = n2 – 1. Jika F < Fa maka H0diterima, artinya ragam populasi sama, sedangkan bila F > Fa maka H0 ditolak, artinya ragam populasi berbeda.
1. Untuk ragam populasi sama
Karena kedua ragam sama, maka ragamnya dapat di gabung: s2 =
statistik uji nya: t =
di bandingkan dengan ta (untuk satu sisi) dan ta/2 (untuk dua sisi) dengan db = nA + nB – 2
2. Untuk ragam populasi tidak sama
Karena kedua ragam tidak sama, maka kita tidak dapat menggabungkan kedua ragam populasi tersebut.
t =
di bandingkan dengan ta (untuk satu sisi) dan ta/2 (untuk dua sisi) dengan
db =
Contoh:
Kemampuan mahasiswa dari jalur PSB dan SPMB akan diperbandingkan dalam hal kemampuan mereka terhadap mata kuliah statistika. Pada masing-masing kelompok diambil secara acak 14 mahasiswa dari PSB (dinamakan kelompok A) dan 18 mahasiswa dari SPMB (dinamakan kelompok B).
Dari data yang diperoleh, setelah dilakukan perhitungan, ternyata bahwa = 68,5; = 66,0; s2A= 110,65 dan s2B = 188,59. Dengan tingkat kesalahan 5%, ingin ditentukan apakah kemampuan kedua kelompok tersebut sama atau tidak.
Jawab:
Hipotesis yang akan di uji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Untuk menentukan apakah ragam kedua populasi itu sama atau tidak dilakukan uji F
F = = = 1,70
Dengan F0,05 dengan db1=18-1 = 17 dan db2=14-1=13 sebesar 2,357. Karena F < F0,05maka ragam kedua populasi adalah sama. Maka ragam gabungannya:
s2 = = = 154,82
Statistik uji t yang digunakan:
t = = = 0,56
Dengan t0,025 dan db = nA + nB – 2 = 14 + 18 – 2 = 30 adalah sebesar 2,045.
Karena t terletak di antara –t0,025 < t < t0,025maka H0 diterima, artinya tidak terdapat perbedaan kemampuan statistika antara mahasiswa asal PSB dengan SPMB.
Contoh:
Suatu penelitian terhadap suatu populasi mengambil 2 contoh masing-masing berukuran 15 dan 10. Berdasarkan hasil pengukuran diperoleh = 2, = 1, s2A = 10 dan s2B= 35. Tentukan apakah kedua contoh di atas berasal dari populasi dengan nilai tengah sama atau tidak!
Jawab :
Hipotesis yang akan di uji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Untuk menentukan apakah ragam kedua populasi itu sama atau tidak dilakukan uji F
F = = = 3,5
Dengan F0,05 dengan db1=10-1 = 9 dan db2=15-1=14 sebesar 2,65. Karena F > F0,05 maka ragam kedua populasi adalah tidak sama.
Statistik uji t yang digunakan:
t = = = 0,46
db = = 10,73 » 11
Dengan t0,025(11) = 2,201
Karena t terletak di antara –t0,025 < t < t0,025maka H0 diterima, artinya nilai tengah kedua populasi sama.
• UJI t BERPASANGAN
Dua sampel yang diamati secara berpasangan, artinya dalam setiap pengukuran yang diukur adalah pasangan [A,B]. Karena pengamatannya secara berpasangan maka dalam setiap pengamatan X¬A dan XB tidak lagi bebas sesamanya meski bebas antara pasangan yang satu dengan pasangan yang lain. Sebagai contoh, XA dan XB masing-masing kadar auksin ruas pertama dan kedua dari pucuk burung tanaman teh Atau XA dan XB berturut-turut kadar vitamin C bagian ujung dan pangkal dari sebuah buah mangga. Atau lebih ekstrim lagi, yaitu detak jantung seseorang pada saat biasa, dan pada saat dekat dengan belahan jiwa.
Metode uji t berpasangan ini adalah sama dengan pengujian hipotesis satu populasi, yaitu data selisih dari kedua populasi tersebut.
Dj = XAj – XBj
t =
Dibandingkan dengan ta/2 (dua sisi) dan ta (satu sisi) dengan derajat bebas = n – 1
Contoh:
Suatu penelitian ditujukan untuk mempelajari apakah ada perbedaan antara banyaknya biji per bunga dari bunga bagian atas dan bagian bawah 10 tanaman bakau.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Atas 1,4 3,3 2,0 0,4 2,1 1,9 1,1 0,1 0,9 3,0
Bawah 1,1 1,7 1,8 0,3 0,8 1,4 1,0 0,4 0,7 0,9
Pengamatan di atas jelas pengamatan berpasangan, dan kita memandang baik bagian atas (XA) maupun bagian bawah (XB) pada setiap pasangan tidak bebas sesamanya. Yang harus dicari adalah selisih antara bagian atas dan bawah:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Atas 1,4 3,3 2,0 0,4 2,1 1,9 1,1 0,1 0,9 3,0
Bawah 1,1 1,7 1,8 0,3 0,8 1,4 1,0 0,4 0,7 0,9
D 0,3 1,6 0,2 0,1 1,3 0,5 0,1 -0,3 0,2 2,1
Hipotesis yang akan diuji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Atau H0 : mD = 0 versus H1 : mD ¹ 0
Di mana kita peroleh = 0,61 dan s2 = 0,6077
t = = = 2,474
Dengan db = n – 1 = 10 – 1 = 9, diperoleh t0,025 = 2,262. Karena
t > t0,025 maka H0 ditolak, artinya terdapat perbedaan antara banyak biji yang dihasilkan oleh bunga bagian atas tanaman dan bunga bagian bawah tanaman. Karena > 0, di mana D adalah selisih bagian atas dengan bagian bawah, maka bagian atas memiliki jumlah biji yang lebih banyak.
Npm: 17 630 011
UJI BEDA RATA-RATA
• Populasi dan sampel
Populasi adalah totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung ataupun pengukuran kuantitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat – sifatnya.
Karena kompleks dan luasnya populasi, mengingat terbatasnya tenaga, biaya, waktu dan hal-hal bersifat merusak maka untuk menggambarkan suatu populasi dilakukan melalui sampel.
Adapun sampel adalah sebagian dari populasi. Sampel yang bagus adalah sampel yang representative, yaitu segala karakteristik populasi tercermin pula dalam sampel.
• Parameter dan Statistik
Karakteristik yang dihitung dari data yang berasal dari populasi disebut parameter, misalkan rata-rata populasi adalah sebuah parameter yang bisanya diberi simbol µ, sedangkan karakteristik yang dihitung dari data yang berasal dari sampel disebut statistic, misalnya rata-rata sampel adalah sebuah statistic yang biasnya diberi symbol . Parameter biasanya tidak diketahui, sehingga nilainya ditaksir dengan nilai statistic.
• Hipotesis
Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. (dalam penelitian hipotesis dapat diartikan jawaban sementara terhadap rumusan masalah penelitian). Jika asumsi itu atau dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik. kecuali dinyatakan lain, di sini dengan hipotesis dimaksudkan hipotesis statistik.
Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis
• DUA MACAM KEKELIRUAN
Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama:
• Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,
• Kekeliruan tipe II : ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.
Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan a (baca : alfa) dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan b (baca : beta). Untuk keperluan praktis, kecuali dinyatakan lain, a akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa digunakan, yaitu a = 0,01 atau a = 0,05. Dengan a = 0,05 misalnya, atau sering pula disebut taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05.
• LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS
Adapun langkah-langkah pengujian hipotetsis dapat diringkas sebagai berikut:
1. Nyatakan hipotetsis nolnya H0 bahwa q = qo ,
2. Pilih hipotetsis alternative H1 yang sesuai q ¹ qo, q > q0 ,q < qo
3. Tentukan taraf signifikan a.
4. Pilih statistic uji yang digunakan apakah z, t, c2 , F atau lainnya, kemudian tentukan daerah ktitisnya/daerah penolakan hipotesis (dari table statistic yang digunakan).
5. Hitung nilai statistic uji berdasarkan sample (melakukan perhitungan data).
6. Keputusan: tolak H0 jika nilai statistic uii tersebut jatuh dalam daerah kritis, sedangkan jika nilai itu jatuh diluar daerah kritis H0
• Terdapat 2 tipe hipotesis:
1. Hipotesis satu arah (atau hipotesis satu sisi).
Jika hipotesis alternatif menunjukkan tanda > atau <. Hal ini dikarenakan si peneliti atau si perancang hipotesis, menginginkan suatu perubahan satu arah, misalnya apakah meningkat, apakah terjadi penurunan, dan sebagainya.
Contoh: sebuah perusahaan rokok menyatakan bahwa kadar nikotin rata-rata rokok yang diproduksinya tidak melebihi 2,5 miligram (tidak melebihi berarti kurang dari, berarti satu arah saja, H1 : m < 2,5).
2. Hipotesis dua arah (atau hipotesis dua sisi).
Jika hipotesis alternatif menunjukkan tanda ¹ Misalkan H0 : m = 20, lawan H1 : m ¹ 20 Ini berarti hipotesis alternatifnya memiliki dua definisi,
H1 : m > 20 dan/atau H1 : m < 20. Hal ini dikarenakan si peneliti menginginkan suatu perbedaan, yaitu apakah berbeda atau tidak (entah berbeda itu meningkat, atau menurun)
Contoh: sebuah pabrik sereal ingin mengetes unjuk kerja dari mesin pengisinya. Mesin tersebut dirancang untuk mengisi 12 ons setiap boksnya. (karena hanya ingin menguji apakah rata-rata mesin pengisi tersebut dapat mengisi 12 ons setiap boksnya atau tidak, H0 : m = 12, dan H1 : m ¹ 12)
Untuk penentuan daerah kritis (daerah penolakan hipotesis).
Jika H1 mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi yang digunakan, normal untuk angka z, Student untuk t, dan seterusnya, didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah ½a. Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis dinamakan uji dua pihak
Daerah penolakan Ho
(daerah kritis)
Daerah
Penerimaan Ho
Daerah Penolakan Ho
(daerah kritis)
d1
d2
luas = ½a
luas = ½a
PENGUJIAN HIPOTESIS SATU POPULASI
• PENGUJIAN m UNTUK RAGAM DIKETAHUI
Statistik Uji: Z
Z
1. Untuk hipotesis dua sisi:
H0: m = c lawan H1: m ¹ c
Daerah Penerimaan H0
-Za/2 < Z < Za/2
Daerah Penolakan H0
Z > Za/2 atau Z < -Za/2
2. Untuk hipotesis satu sisi:
H0: m = c lawan H1: m < c
Daerah Penerimaan H0
Z > -Za
Daerah Penolakan H0
Z < -Za
H0: m = c lawan H1: m > c
Daerah Penerimaan H0
Z < Za
Daerah Penolakan H0
Z > Za
• PENGUJIAN m UNTUK RAGAM TIDAK DIKETAHUI
Statistik Uji: t
t =
Dibandingkan dengan ta/2 (dua sisi) & ta (satu sisi) dengan db=n-1
Metode daerah penerimaan maupun penolakan H0 sama dengan di atas.
Contoh:
Sebuah perusahaan alat olahraga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, ingin menguji apakah alat pancing tersebut memiliki kekuatan dengan nilai tengah 8 kg. Diketahui bahwa simpangan baku adalah 0,5 kg. Ujilah hipotesis tersebut, bila suatu contoh acak 50 batang pancing itu setelah di tes memberikan nilai tengah 7,8 kg. Gunakan taraf nyata 0,01.
Jawab:
1. Hipotesis
H0 : m = 8, lawan H1 : m ¹ 8 (uji dua sisi)
2. Tingkat signifikansi a = 0,01
Za/2 = Z0,005 = 2,575
3. Statistik Uji
Z = = = -2,83
4. Daerah kritik
H0 diterima : -Za/2 < Z < Za/2 à -2,575 < Z < 2,575
H0 ditolak : Z > Za/2 atau Z < -Za/2 à Z > 2,575 atau Z <-2,575
5. Keputusan
Karena Z < – Za/2 (-2,83 < -2,575), maka H0ditolak
6. Kesimpulan
Bahwa rata-rata kekuatan batang pancing tidak sama dengan 8 kg, tetapi kurang dari 8 kg.
• PENGUJIAN HIPOTESIS DUA POPULASI
Misalkan kita tertarik untuk membandingkan efisiensi 2 mesin, mesin A dan mesin B, mana yang lebih baik, atau kita tertarik untuk membandingkan potensi tanaman pada varietas A dan varietas B, apakah terdapat perbedaan hasil panen varietas A dan B, maka hipotesis yang akan di uji adalah:
H0 : mA = mB (tidak terdapat perbedaan pada kedua varietas tersebut)
H1 : mA ¹ mB (terdapat perbedaan pada kedua varietas tersebut)
Atau kita ingin menguji apakah varietas A lebih baik daripada varietas B? maka hipotesisnya:
H0 : mA = mB versus H1 : mA < mB
• PENGUJIAN DUA m UNTUK RAGAM POPULASI DIKETAHUI
Statistik Uji yang digunakan: Z =
Decision rule (kaidah keputusannya) sama dengan sebelumnya
Contoh:
Dari suatu survei di dua daerah yang masing-masing dengan contoh berukuran 30 dan 36 berturut-turut diperoleh nilai tengah pendapatan per kapita per bulan Rp 45.000 di daerah A dan Rp 47.500 untuk daerah B. Jika diketahui bahwa ragam pendapatannya sebesar (Rp.6.000)2 dan (Rp.7.500)2 berturut-turut, dengan taraf kepercayaan 95%, tentukan apakah pendapatan rata-rata di A berbeda dengan di B atau tidak!
Jawab:
1. Hipotesis
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB (uji dua sisi)
2. Tingkat signifikansi a = 0,05
Za/2 = Z0,025 = 1,96
3. Statistik Uji
Z = = = -1,504
4. Daerah kritik
H0 diterima : -Za/2 < Z < Za/2 à -1,96 < Z < 1,96
H0 ditolak : Z > Za/2 atau Z < -Za/2 à Z > 1,96 atau Z <-1,96
5. Keputusan
Karena -Za/2 < Z < Za/2 (-1,96 < Z < 1,96), maka H0 diterima
6. Kesimpulan
Bahwa pendapatan perkapita dua daerah tersebut adalah sama.
• PENGUJIAN DUA m UNTUK RAGAM POPULASI TDK DIKETAHUI
Sama seperti uji satu populasi, jika ragam tidak diketahui, statistik uji yang digunakan adalah statistik t. Bila ragam populasi untuk kedua populasi tersebut tidak diketahui, kita harus menyelidiki contoh A (dari populasi A) dan contoh B (dari populasi B) apakah populasi tersebut berpasangan atau tidak.
Jika contoh A, yang diambil bebas terhadap contoh B. Artinya, kita mengambil secara acak contoh A berukuran nA dan kita juga mengambil contoh B secara acak berukuran nB. Jenis pengujian ini dinamakan uji t tidak berpasangan.
Jika pada setiap pengukuran contoh A dan B diambil secara berpasangan. Dengan demikian, ukuran untuk contoh A dan B adalah sama, yaitu katakanlah n. Jenis pengujian ini dinamakan uji t berpasangan.
• UJI t TIDAK BERPASANGAN
Terdapat permasalahan dalam uji t tidak berpasangan, yaitu apakah dua populasi tersebut berasal dari ragam yang sama atau tidak? Untuk itu kita harus mengujinya apakah s2A sama dengan s2B atau tidak. Hipotesis untuk menguji hal itu adalah sebagai berikut:
H0 : s2A = s2B (artinya kedua populasi berasal dari ragam yang sama)
H1 : s2A ¹ s2B (artinya kedua populasi berasal dari ragam yang sama)
Statistik uji yang digunakan adalah statistik F.
F =
di mana s21 adalah ragam terbesar dari dua populasi tersebut (apakah s2A atau s2B) dan s22adalah ragam terkecil di antara keduanya.
F tersebut dibandingkan dengan Fa dengan db1 = n1 – 1 dan db2 = n2 – 1. Jika F < Fa maka H0diterima, artinya ragam populasi sama, sedangkan bila F > Fa maka H0 ditolak, artinya ragam populasi berbeda.
1. Untuk ragam populasi sama
Karena kedua ragam sama, maka ragamnya dapat di gabung: s2 =
statistik uji nya: t =
di bandingkan dengan ta (untuk satu sisi) dan ta/2 (untuk dua sisi) dengan db = nA + nB – 2
2. Untuk ragam populasi tidak sama
Karena kedua ragam tidak sama, maka kita tidak dapat menggabungkan kedua ragam populasi tersebut.
t =
di bandingkan dengan ta (untuk satu sisi) dan ta/2 (untuk dua sisi) dengan
db =
Contoh:
Kemampuan mahasiswa dari jalur PSB dan SPMB akan diperbandingkan dalam hal kemampuan mereka terhadap mata kuliah statistika. Pada masing-masing kelompok diambil secara acak 14 mahasiswa dari PSB (dinamakan kelompok A) dan 18 mahasiswa dari SPMB (dinamakan kelompok B).
Dari data yang diperoleh, setelah dilakukan perhitungan, ternyata bahwa = 68,5; = 66,0; s2A= 110,65 dan s2B = 188,59. Dengan tingkat kesalahan 5%, ingin ditentukan apakah kemampuan kedua kelompok tersebut sama atau tidak.
Jawab:
Hipotesis yang akan di uji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Untuk menentukan apakah ragam kedua populasi itu sama atau tidak dilakukan uji F
F = = = 1,70
Dengan F0,05 dengan db1=18-1 = 17 dan db2=14-1=13 sebesar 2,357. Karena F < F0,05maka ragam kedua populasi adalah sama. Maka ragam gabungannya:
s2 = = = 154,82
Statistik uji t yang digunakan:
t = = = 0,56
Dengan t0,025 dan db = nA + nB – 2 = 14 + 18 – 2 = 30 adalah sebesar 2,045.
Karena t terletak di antara –t0,025 < t < t0,025maka H0 diterima, artinya tidak terdapat perbedaan kemampuan statistika antara mahasiswa asal PSB dengan SPMB.
Contoh:
Suatu penelitian terhadap suatu populasi mengambil 2 contoh masing-masing berukuran 15 dan 10. Berdasarkan hasil pengukuran diperoleh = 2, = 1, s2A = 10 dan s2B= 35. Tentukan apakah kedua contoh di atas berasal dari populasi dengan nilai tengah sama atau tidak!
Jawab :
Hipotesis yang akan di uji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Untuk menentukan apakah ragam kedua populasi itu sama atau tidak dilakukan uji F
F = = = 3,5
Dengan F0,05 dengan db1=10-1 = 9 dan db2=15-1=14 sebesar 2,65. Karena F > F0,05 maka ragam kedua populasi adalah tidak sama.
Statistik uji t yang digunakan:
t = = = 0,46
db = = 10,73 » 11
Dengan t0,025(11) = 2,201
Karena t terletak di antara –t0,025 < t < t0,025maka H0 diterima, artinya nilai tengah kedua populasi sama.
• UJI t BERPASANGAN
Dua sampel yang diamati secara berpasangan, artinya dalam setiap pengukuran yang diukur adalah pasangan [A,B]. Karena pengamatannya secara berpasangan maka dalam setiap pengamatan X¬A dan XB tidak lagi bebas sesamanya meski bebas antara pasangan yang satu dengan pasangan yang lain. Sebagai contoh, XA dan XB masing-masing kadar auksin ruas pertama dan kedua dari pucuk burung tanaman teh Atau XA dan XB berturut-turut kadar vitamin C bagian ujung dan pangkal dari sebuah buah mangga. Atau lebih ekstrim lagi, yaitu detak jantung seseorang pada saat biasa, dan pada saat dekat dengan belahan jiwa.
Metode uji t berpasangan ini adalah sama dengan pengujian hipotesis satu populasi, yaitu data selisih dari kedua populasi tersebut.
Dj = XAj – XBj
t =
Dibandingkan dengan ta/2 (dua sisi) dan ta (satu sisi) dengan derajat bebas = n – 1
Contoh:
Suatu penelitian ditujukan untuk mempelajari apakah ada perbedaan antara banyaknya biji per bunga dari bunga bagian atas dan bagian bawah 10 tanaman bakau.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Atas 1,4 3,3 2,0 0,4 2,1 1,9 1,1 0,1 0,9 3,0
Bawah 1,1 1,7 1,8 0,3 0,8 1,4 1,0 0,4 0,7 0,9
Pengamatan di atas jelas pengamatan berpasangan, dan kita memandang baik bagian atas (XA) maupun bagian bawah (XB) pada setiap pasangan tidak bebas sesamanya. Yang harus dicari adalah selisih antara bagian atas dan bawah:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Atas 1,4 3,3 2,0 0,4 2,1 1,9 1,1 0,1 0,9 3,0
Bawah 1,1 1,7 1,8 0,3 0,8 1,4 1,0 0,4 0,7 0,9
D 0,3 1,6 0,2 0,1 1,3 0,5 0,1 -0,3 0,2 2,1
Hipotesis yang akan diuji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Atau H0 : mD = 0 versus H1 : mD ¹ 0
Di mana kita peroleh = 0,61 dan s2 = 0,6077
t = = = 2,474
Dengan db = n – 1 = 10 – 1 = 9, diperoleh t0,025 = 2,262. Karena
t > t0,025 maka H0 ditolak, artinya terdapat perbedaan antara banyak biji yang dihasilkan oleh bunga bagian atas tanaman dan bunga bagian bawah tanaman. Karena > 0, di mana D adalah selisih bagian atas dengan bagian bawah, maka bagian atas memiliki jumlah biji yang lebih banyak.
Langganan:
Postingan (Atom)