Uji beda rata-rata

Nama: INDAHTAURIZYA
Npm: 17 630 011

UJI BEDA RATA-RATA

• Populasi dan sampel
Populasi adalah totalitas semua nilai yang mungkin, hasil menghitung ataupun pengukuran kuantitatif mengenai karakteristik tertentu dari semua anggota kumpulan yang lengkap dan jelas yang ingin dipelajari sifat – sifatnya.

Karena kompleks dan luasnya populasi, mengingat terbatasnya tenaga, biaya, waktu dan hal-hal bersifat merusak maka untuk menggambarkan suatu populasi dilakukan melalui sampel.
Adapun sampel adalah sebagian dari populasi. Sampel yang bagus adalah sampel yang representative, yaitu segala karakteristik populasi tercermin pula dalam sampel.

• Parameter dan Statistik
Karakteristik yang dihitung dari data yang berasal dari populasi disebut parameter, misalkan rata-rata populasi adalah sebuah parameter yang bisanya diberi simbol µ, sedangkan karakteristik yang dihitung dari data yang berasal dari sampel disebut statistic, misalnya rata-rata sampel adalah sebuah statistic yang biasnya diberi symbol . Parameter biasanya tidak diketahui, sehingga nilainya ditaksir dengan nilai statistic.

• Hipotesis
Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. (dalam penelitian hipotesis dapat diartikan jawaban sementara terhadap rumusan masalah penelitian). Jika asumsi itu atau dugaan itu dikhususkan mengenai populasi, umumnya mengenai nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik. kecuali dinyatakan lain, di sini dengan hipotesis dimaksudkan hipotesis statistik.
Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya perlu diadakan penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau ditolak. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan pengujian hipotesis

• DUA MACAM KEKELIRUAN
Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama:

• Kekeliruan tipe I : ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima,
• Kekeliruan tipe II : ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak.

Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan a (baca : alfa) dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan b (baca : beta). Untuk keperluan praktis, kecuali dinyatakan lain, a akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa digunakan, yaitu a = 0,01 atau a = 0,05. Dengan a = 0,05 misalnya, atau sering pula disebut taraf nyata 5%, berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa kita telah membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan peluang 0,05.

• LANGKAH-LANGKAH PENGUJIAN HIPOTESIS
Adapun langkah-langkah pengujian hipotetsis dapat diringkas sebagai berikut:

1. Nyatakan hipotetsis nolnya H0 bahwa q = qo ,

2. Pilih hipotetsis alternative H1 yang sesuai q ¹ qo, q > q0 ,q < qo

3. Tentukan taraf signifikan a.

4. Pilih statistic uji yang digunakan apakah z, t, c2 , F atau lainnya, kemudian tentukan daerah ktitisnya/daerah penolakan hipotesis (dari table statistic yang digunakan).

5. Hitung nilai statistic uji berdasarkan sample (melakukan perhitungan data).

6. Keputusan: tolak H0 jika nilai statistic uii tersebut jatuh dalam daerah kritis, sedangkan jika nilai itu jatuh diluar daerah kritis H0

• Terdapat 2 tipe hipotesis:

1. Hipotesis satu arah (atau hipotesis satu sisi).
Jika hipotesis alternatif menunjukkan tanda > atau <. Hal ini dikarenakan si peneliti atau si perancang hipotesis, menginginkan suatu perubahan satu arah, misalnya apakah meningkat, apakah terjadi penurunan, dan sebagainya.
Contoh: sebuah perusahaan rokok menyatakan bahwa kadar nikotin rata-rata rokok yang diproduksinya tidak melebihi 2,5 miligram (tidak melebihi berarti kurang dari, berarti satu arah saja, H1 : m < 2,5).

2. Hipotesis dua arah (atau hipotesis dua sisi).
Jika hipotesis alternatif menunjukkan tanda ¹ Misalkan H0 : m = 20, lawan H1 : m ¹ 20 Ini berarti hipotesis alternatifnya memiliki dua definisi,
H1 : m > 20 dan/atau H1 : m < 20. Hal ini dikarenakan si peneliti menginginkan suatu perbedaan, yaitu apakah berbeda atau tidak (entah berbeda itu meningkat, atau menurun)

Contoh: sebuah pabrik sereal ingin mengetes unjuk kerja dari mesin pengisinya. Mesin tersebut dirancang untuk mengisi 12 ons setiap boksnya. (karena hanya ingin menguji apakah rata-rata mesin pengisi tersebut dapat mengisi 12 ons setiap boksnya atau tidak, H0 : m = 12, dan H1 : m ¹ 12)
Untuk penentuan daerah kritis (daerah penolakan hipotesis).
Jika H1 mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi yang digunakan, normal untuk angka z, Student untuk t, dan seterusnya, didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah ½a. Karena adanya dua daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis dinamakan uji dua pihak
Daerah penolakan Ho
(daerah kritis)
Daerah
Penerimaan Ho
Daerah Penolakan Ho
(daerah kritis)
d1
d2
luas = ½a
luas = ½a

PENGUJIAN HIPOTESIS SATU POPULASI

• PENGUJIAN m UNTUK RAGAM DIKETAHUI
Statistik Uji: Z
Z
1. Untuk hipotesis dua sisi:
H0: m = c lawan H1: m ¹ c
Daerah Penerimaan H0
-Za/2 < Z < Za/2
Daerah Penolakan H0
Z > Za/2 atau Z < -Za/2
2. Untuk hipotesis satu sisi:
H0: m = c lawan H1: m < c
Daerah Penerimaan H0
Z > -Za
Daerah Penolakan H0
Z < -Za

H0: m = c lawan H1: m > c
Daerah Penerimaan H0
Z < Za
Daerah Penolakan H0
Z > Za

• PENGUJIAN m UNTUK RAGAM TIDAK DIKETAHUI

Statistik Uji: t
t =
Dibandingkan dengan ta/2 (dua sisi) & ta (satu sisi) dengan db=n-1
Metode daerah penerimaan maupun penolakan H0 sama dengan di atas.

Contoh:
Sebuah perusahaan alat olahraga mengembangkan jenis batang pancing sintetik, ingin menguji apakah alat pancing tersebut memiliki kekuatan dengan nilai tengah 8 kg. Diketahui bahwa simpangan baku adalah 0,5 kg. Ujilah hipotesis tersebut, bila suatu contoh acak 50 batang pancing itu setelah di tes memberikan nilai tengah 7,8 kg. Gunakan taraf nyata 0,01.

Jawab:

1. Hipotesis
H0 : m = 8, lawan H1 : m ¹ 8 (uji dua sisi)

2. Tingkat signifikansi a = 0,01
Za/2 = Z0,005 = 2,575

3. Statistik Uji
Z = = = -2,83

4. Daerah kritik
H0 diterima : -Za/2 < Z < Za/2 à -2,575 < Z < 2,575
H0 ditolak : Z > Za/2 atau Z < -Za/2 à Z > 2,575 atau Z <-2,575

5. Keputusan
Karena Z < – Za/2 (-2,83 < -2,575), maka H0ditolak

6. Kesimpulan
Bahwa rata-rata kekuatan batang pancing tidak sama dengan 8 kg, tetapi kurang dari 8 kg.

• PENGUJIAN HIPOTESIS DUA POPULASI

Misalkan kita tertarik untuk membandingkan efisiensi 2 mesin, mesin A dan mesin B, mana yang lebih baik, atau kita tertarik untuk membandingkan potensi tanaman pada varietas A dan varietas B, apakah terdapat perbedaan hasil panen varietas A dan B, maka hipotesis yang akan di uji adalah:
H0 : mA = mB (tidak terdapat perbedaan pada kedua varietas tersebut)
H1 : mA ¹ mB (terdapat perbedaan pada kedua varietas tersebut)
Atau kita ingin menguji apakah varietas A lebih baik daripada varietas B? maka hipotesisnya:
H0 : mA = mB versus H1 : mA < mB

• PENGUJIAN DUA m UNTUK RAGAM POPULASI DIKETAHUI

Statistik Uji yang digunakan: Z =
Decision rule (kaidah keputusannya) sama dengan sebelumnya
Contoh:
Dari suatu survei di dua daerah yang masing-masing dengan contoh berukuran 30 dan 36 berturut-turut diperoleh nilai tengah pendapatan per kapita per bulan            Rp 45.000 di daerah A dan Rp 47.500 untuk daerah B. Jika diketahui bahwa ragam pendapatannya sebesar (Rp.6.000)2 dan (Rp.7.500)2 berturut-turut, dengan taraf kepercayaan 95%, tentukan apakah pendapatan rata-rata di A berbeda dengan di B atau tidak!

Jawab:
1. Hipotesis
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB (uji dua sisi)

2. Tingkat signifikansi a = 0,05
Za/2 = Z0,025 = 1,96

3. Statistik Uji
Z = = = -1,504

4. Daerah kritik
H0 diterima : -Za/2 < Z < Za/2 à -1,96 < Z < 1,96
H0 ditolak : Z > Za/2 atau Z < -Za/2 à Z > 1,96 atau Z <-1,96

5. Keputusan
Karena -Za/2 < Z < Za/2 (-1,96 < Z < 1,96), maka H0 diterima

6. Kesimpulan
Bahwa pendapatan perkapita dua daerah tersebut adalah sama.

• PENGUJIAN DUA m UNTUK RAGAM POPULASI TDK DIKETAHUI

Sama seperti uji satu populasi, jika ragam tidak diketahui, statistik uji yang digunakan adalah statistik t. Bila ragam populasi untuk kedua populasi tersebut tidak diketahui, kita harus menyelidiki contoh A (dari populasi A) dan contoh B (dari populasi B) apakah populasi tersebut berpasangan atau tidak.
Jika contoh A, yang diambil bebas terhadap contoh B. Artinya, kita mengambil secara acak contoh A berukuran nA dan kita juga mengambil contoh B secara acak berukuran nB. Jenis pengujian ini dinamakan uji t tidak berpasangan.
Jika pada setiap pengukuran contoh A dan B diambil secara berpasangan. Dengan demikian, ukuran untuk contoh A dan B adalah sama, yaitu katakanlah n. Jenis pengujian ini dinamakan uji t berpasangan.

• UJI t TIDAK BERPASANGAN

Terdapat permasalahan dalam uji t tidak berpasangan, yaitu apakah dua populasi tersebut berasal dari ragam yang sama atau tidak? Untuk itu kita harus mengujinya apakah s2A sama dengan s2B atau tidak. Hipotesis untuk menguji hal itu adalah sebagai berikut:
H0 : s2A = s2B (artinya kedua populasi berasal dari ragam yang sama)
H1 : s2A ¹ s2B (artinya kedua populasi berasal dari ragam yang sama)
Statistik uji yang digunakan adalah statistik F.
F =
di mana s21 adalah ragam terbesar dari dua populasi tersebut (apakah s2A atau s2B) dan s22adalah ragam terkecil di antara keduanya.
F tersebut dibandingkan dengan Fa dengan db1 = n1 – 1 dan db2 = n2 – 1. Jika F < Fa maka H0diterima, artinya ragam populasi sama, sedangkan bila F > Fa maka H0 ditolak, artinya ragam populasi berbeda.

1. Untuk ragam populasi sama
Karena kedua ragam sama, maka ragamnya dapat di gabung: s2 =
statistik uji nya: t =
di bandingkan dengan ta (untuk satu sisi) dan ta/2 (untuk dua sisi) dengan db = nA + nB – 2

2. Untuk ragam populasi tidak sama
Karena kedua ragam tidak sama, maka kita tidak dapat menggabungkan kedua ragam populasi tersebut.
t =
di bandingkan dengan ta (untuk satu sisi) dan ta/2 (untuk dua sisi) dengan
db =

Contoh:
Kemampuan mahasiswa dari jalur PSB dan SPMB akan diperbandingkan dalam hal kemampuan mereka terhadap mata kuliah statistika. Pada masing-masing kelompok diambil secara acak 14 mahasiswa dari PSB (dinamakan kelompok A) dan 18 mahasiswa dari SPMB (dinamakan kelompok B).
Dari data yang diperoleh, setelah dilakukan perhitungan, ternyata bahwa = 68,5; = 66,0; s2A= 110,65 dan s2B = 188,59. Dengan tingkat kesalahan 5%, ingin ditentukan apakah kemampuan kedua kelompok tersebut sama atau tidak.

Jawab:
Hipotesis yang akan di uji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Untuk menentukan apakah ragam kedua populasi itu sama atau tidak dilakukan uji F
F = = = 1,70
Dengan F0,05 dengan db1=18-1 = 17 dan db2=14-1=13 sebesar 2,357. Karena F < F0,05maka ragam kedua populasi adalah sama. Maka ragam gabungannya:

s2 = = = 154,82
Statistik uji t yang digunakan:
t = = = 0,56
Dengan t0,025 dan db = nA + nB – 2 = 14 + 18 – 2 = 30 adalah sebesar 2,045.
Karena t terletak di antara –t0,025 < t < t0,025maka H0 diterima, artinya tidak terdapat perbedaan kemampuan statistika antara mahasiswa asal PSB dengan SPMB.

Contoh:
Suatu penelitian terhadap suatu populasi mengambil 2 contoh masing-masing berukuran 15 dan 10. Berdasarkan hasil pengukuran diperoleh = 2, = 1, s2A = 10 dan    s2B= 35. Tentukan apakah kedua contoh di atas berasal dari populasi dengan nilai tengah sama atau tidak!

Jawab :
Hipotesis yang akan di uji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Untuk menentukan apakah ragam kedua populasi itu sama atau tidak dilakukan uji F
F = = = 3,5
Dengan F0,05 dengan db1=10-1 = 9 dan db2=15-1=14 sebesar 2,65. Karena F > F0,05 maka ragam kedua populasi adalah tidak sama.

Statistik uji t yang digunakan:
t = = = 0,46
db = = 10,73 » 11
Dengan t0,025(11) = 2,201
Karena t terletak di antara –t0,025 < t < t0,025maka H0 diterima, artinya nilai tengah kedua populasi sama.

• UJI t BERPASANGAN

Dua sampel yang diamati secara berpasangan, artinya dalam setiap pengukuran yang diukur adalah pasangan [A,B]. Karena pengamatannya secara berpasangan maka dalam setiap pengamatan X¬A dan XB tidak lagi bebas sesamanya meski bebas antara pasangan yang satu dengan pasangan yang lain. Sebagai contoh, XA dan XB masing-masing kadar auksin ruas pertama dan kedua dari pucuk burung tanaman teh Atau XA dan XB berturut-turut kadar vitamin C bagian ujung dan pangkal dari sebuah buah mangga. Atau lebih ekstrim lagi, yaitu detak jantung seseorang pada saat biasa, dan pada saat dekat dengan belahan jiwa.
Metode uji t berpasangan ini adalah sama dengan pengujian hipotesis satu populasi, yaitu data selisih dari kedua populasi tersebut.
Dj = XAj – XBj
t =
Dibandingkan dengan ta/2 (dua sisi) dan ta (satu sisi) dengan derajat bebas = n – 1

Contoh:
Suatu penelitian ditujukan untuk mempelajari apakah ada perbedaan antara banyaknya biji per bunga dari bunga bagian atas dan bagian bawah 10 tanaman bakau.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Atas 1,4 3,3 2,0 0,4 2,1 1,9 1,1 0,1 0,9 3,0
Bawah 1,1 1,7 1,8 0,3 0,8 1,4 1,0 0,4 0,7 0,9

Pengamatan di atas jelas pengamatan berpasangan, dan kita memandang baik bagian atas (XA) maupun bagian bawah (XB) pada setiap pasangan tidak bebas sesamanya. Yang harus dicari adalah selisih antara bagian atas dan bawah:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Atas 1,4 3,3 2,0 0,4 2,1 1,9 1,1 0,1 0,9 3,0
Bawah 1,1 1,7 1,8 0,3 0,8 1,4 1,0 0,4 0,7 0,9
D 0,3 1,6 0,2 0,1 1,3 0,5 0,1 -0,3 0,2 2,1

Hipotesis yang akan diuji:
H0 : mA = mB versus H1 : mA ¹ mB
Atau H0 : mD = 0 versus H1 : mD ¹ 0
Di mana kita peroleh = 0,61 dan s2 = 0,6077
t = = = 2,474
Dengan db = n – 1 = 10 – 1 = 9, diperoleh t0,025 = 2,262. Karena
t > t0,025 maka H0 ditolak, artinya terdapat perbedaan antara banyak biji yang dihasilkan oleh bunga bagian atas tanaman dan bunga bagian bawah tanaman. Karena > 0, di mana D adalah selisih bagian atas dengan bagian bawah, maka bagian atas memiliki jumlah biji yang lebih banyak.